必赢电竞赔率然后绕y转β 角

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  §3.3 正交群、幺正幺模群和Euler转动 一、正交群 ? ? ? 一个转动可用三个实数表征:转轴的极角和方位角,及转角。可用 3×3正交矩阵R描述:不同相继转动的结果可用相应矩阵乘积来表示。 由于RRT=RTR=1 相当于6个独立方程,这3×3正交矩阵的9个元素 只有3个是独立的。 正交矩阵乘法运算的集合构成一个群,即SO(3)群。S表示特殊,即 只考虑了转动,而无反演;O表示正交,必赢电竞赔率即RRT=1;3表示空间维数。 SO(3)群的基本性质 所有正交矩阵(R)乘法运算的集合满足四要素: 1. 封闭性:两正交矩阵的乘积为另一正交矩阵 R 3 R 3 ? ( R1 R 2 ) ( R1 R 2 ) T T ? ? ? ? R1 R 2 R 2 R1 ? 1 T T ? ? ? 2. 结合律: R 1 ( R 2 R 3 ) ? ( R 1 R 2 ) R 3 这是矩阵代数的结果 3. 有单位矩阵(对应于无转动):R1=1R=R 4. 有逆存在(对应于相反角度的转动):RR ? 1 ? R ? 1 R ? 1 二、幺正幺模群 ? 对二分量旋量 χ,可用一个2×2矩阵的作用来表征一个任意转动: U= ? ? 该矩阵显然是幺正的(UU+=1),不改变 χ 的模。 幺正幺模矩阵:行列式为1的幺正矩阵。幺正幺模矩阵的一般形式 为: 且 ? U(a,b)的行列式为1 ,且幺正: 对比U与U(a,b),知U为幺模矩阵,对应于: ? ? 上述U(a,b)的集合所构成的群称为SU(2)群。 S:特殊,即模为1;U:幺正。 1)封闭性: 2)逆: ? 2维幺正矩阵构成U(2)群(有4个独立参数): ? ? ? SU(2)与SO(3)的关系 ? SU(2)与SO(3)均表征转动,但不同构,即非一一对应。 SU(2)与SO(3)的对应是二对一的,即U(a,b)及U(-a,-b)对应于同 一个SO(3)矩阵。例如在SU(2)中转2π对应于-1,转4π对应于1, 但SO(3)中转2π和4π都对应于1。 把U(a,b)和U(-a,-b)分开看,可认为SO(3) 与SU(2)局部同构。 三、Euler转动 ?三维空间的最一般转动也可 用三个相继Euler转动表征: 1)将刚体绕z轴转α角。空间 坐标轴与刚体坐标轴在转动 前是重合的,转动后刚体y轴 变为y’轴; 2)使刚体绕y’轴转β 角,刚体 z轴变为z’轴; 3)使刚体绕z’轴转γ角,y’轴 变为y’’轴。 用3×3正交矩阵描述这三个 Euler转动,结果为: 化关于刚体轴y’、z’的操作为关于空间固定轴的操作 ? y’与y差α角,绕y’转β 角可等价为:先用Rz(-α)将y’转回到 y,然后绕y转β 角,再将y转回到y’轴,即 上式左右两边对y’轴效果自然相同,必赢电竞赔率对z?z’’(z’)的操作也 相同,即上式对刚体的两非平行轴等价。 类似可证: 于是,描述3个Euler转动的正交矩阵为: ? ? ? ? 即: 对应于Euler转动的转动算符 ? ? 与R乘积对应的相应转动算符乘积: 对自旋1/2体系: ? ? ? 该矩阵具有幺模矩阵的普遍形式。 上式的exp(-iσ2β)矩阵是唯一含非对角元的,且非对角元是纯实数。 是转动算符D(α,β,γ)的j=1/2的不可约表示, 矩阵元记为 : §3.4 密度算符与混合系综 一、极化与非极化粒子束 ? 前述量子力学理论形式可描述由完全相同的粒子组成的系 综的统计预言,系综粒子均由态矢α表征。 ? 对由不同态矢表征的物理体系所组成的系综,前面讨论的 理论方法不适用。如SG实验中由热炉直接出来的Ag原子, 其自旋朝向是随机的。 ? 按前描述任意态的方法, 所描述的态有特定自旋方向,其极角β 和方位角α由 决定,故不能描述自旋无特定方向的体系系综。 二、分数分布 ? ? ? 自旋朝向无规的系综可看作由50%+和50%-的粒子组 成,可用布居数(几率权重)w+=0.5和w-=0.5描述 注意:1)系综的分解常常是不唯一的,如上述体系也可 看作由50%Sx+和50%Sx-组成。 2)几率权重( w+,w-)是实数,没有关于不同态的相对相 位的信息,用于描述不同态的非相干混合态。 3)不能混淆w+ (w-)和c+2 (c-2), c+2 (c-2)包含了重要 的相位信息,用于描述态的相干线性叠加,如 ,该相干叠加的结果是Sx+态。 ? ? w+、w-所对应的概念与经典几率理论的概念相仿。 三、非极化、部分极化和完全极化 ? SG实验中由炉子出来的Ag原子束是完全随机系综的例子, 原子束被称为是非极化的,自旋无特定方向。 经过SG过滤器后的原子束是纯系综、原子束是极化的, 自旋有特定朝向。 完全随机系统和纯系统是混合系统的两极端例子。如一混 合系统中有70%的态由α描述,而30%由β 描述,则称 为部分极化的。这里α和β 不一定要正交。例如, α 是Sx+,而β 是Sz- 。 非纯系综必须用分数布居数描述(布居数一般不唯一,但 要满足描述系综总体性质的要求) ? ? ? 四、系综平均 ? 1) 2) 3) 混合系综可看作纯系综α(i)的混合叠加。 分数分布要满足归一条件: 不同态α(i)不必正交 i的数目可大于态空间的维数。例如一系综可由40% Sz+ 、30% Sx-和30%Sy-组成. 对混合系综测量A,测量的统计结果是A的系综平均 2 ? ? A? ? ? i ?i ? ?i? A ? ?i? ? ??? i a i a ? ?i? a? ? 这里a’是A的本征矢。由于α(i)Aα(i)是A在态α(i)的期 望值,系综平均要对期望值作权重平均,即几率概念出 现两次:一是在态α(i)找到A本征态的量子力学几率,二 是α(i)在系综的几率权重。必赢电竞赔率 五、密度算符 ? A的系综平均: ? ? ? ? 对b’或b’’的求和项数是态矢空间的维数,而i的项数则与混合系 统被看作由怎样的纯态混合而成有关。 定义与特定观测量A无关的系综密度算符: 其矩阵表示(密度矩阵)矩阵元为: 密度算符包含了所讨论系综的所有物理信息。 观测量的系综平均: ? ? 因迹与表象无关,可选方便的基计算,因而上式是非常有用的。 六、密度算符的基本性质 1)厄米性:ρ+ =ρ 2)满足归一化条件: Tr ? ? ? ? ? ? ?i i b? b? ? ?i? ? ?i? b? ? ?? i i ? ?i? ? ?i? ?1 由于厄米性及归一条件,对自旋1/2的体系,密度算符的 矩阵表示由3个独立参量描述,这是因为厄米矩阵由四实 数表述,而归一性将独立参数数降为3。所需三个参数是 [Sx], [Sy]和[Sz]。 七、纯态系综的密度算符 ? 纯系综由某i=n的wi=1和所有其他wi=0描述,对应的密度 算符为: 纯系综的ρ具有等幂性: ρ2 =ρ (故Tr(ρ2)=1), ρ(ρ-1)=0 ? ? ρ对角化时有ρii (ρii-1)=0,即ρii =1或ρii =0,ρ具有形式: ? ? 由于 Tr(? ) ? 2 ? i ? ii ? 2 ? i ? ii ? 1 纯系综的Tr(ρ2)=1为极大,任何混合系统的Tr(ρ2)1 。 八、密度算符在给定基下的矩阵表示 上式其实给出了密度矩阵的算法。下面以自旋1/2体系在Sz 表象为例。 1)对纯Sz+系综: 2)纯Sx±系综: ? ? ? ?1? ? ? ? ? ?1 ?0? ?1 0? ? ? ?0 0? ? 0? ? 3)对完全非极化系综,将其看作50%+和50%-的非相干 组合,则 : ?1 ? 0? ? 1 1 ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ?[S]=0 1 2 2 2 ? ? ?0 ? ? ? ? 2? 4)由75%Sz+与25%Sx+组成的部分极化系综 3 ?1 ? ? ? ? 4 ?0 ? 0? 1 ? ?? ? ? 0? 4? ? ? 1 2 1 2 1? ?7 ? ? 2? ? ?8 1? ?1 ? ? 2? ?8 1? ? 8? 1? ? 8? 容易求得: ?Sx ? ? 8 , ? S y ? ? 0, ? ? ?Sz ? ? 3 8 注:给定ρ,其对纯态的分解可以是多样化的(可从矢量模型 理解) 。 九、系综的时间演化 ? 对 ,若系综不受干扰,则wi不变,系 综的时间演化由态矢α(i)的时间演化决定, ? ? 该方程形式与海森堡运动方程反号。但这并不矛盾,因ρ 不是海森堡绘景中的动力学观测量。其实,ρ是由薛定谔 绘景中的态矢组成的,而态矢则是按薛定谔方程演化的。 ρ的时间演化方程的经典对应正是统计力学中关于相空间 态密度时间演化的刘维方程。 ? ? c la s s ic a l ?t ? ? [ ? c la s s ic a l , H ] c la s s ic a l , A a v e r a g e ? ?? c la s s ic a l A(q, p )d ? q,p d ? q,p ?? c la s s ic a l 十、连续谱空间中的密度算符 ? 对应于连续本征谱的态矢,则 ? 此时密度矩阵实际上是x’和x’’的函数,即 ? ? ? i(x’)是对应于α(i)的波函数。 ρ的对角元素是几率密度的权重和(故称密度矩阵很合理) 混合态系综的分解不唯一,如粒子束流可看做不同平面波或 波包的叠加。 十一、密度算符与量子统计力学 ? 对完全随机的系综,密度矩阵在任何表象中均有: ? ? 该ρ与纯系综的ρ很不相同。 为定量表征不同系综的ρ,定义σ为: ? 在ρ本征态为基矢时: 十二、熵 ? ? ? 1 ,σ是半正定的(σ≥0)。 由于 对完全随机系综 0 ? ? kk d ia g ? ? 对纯系综,σ =0 可见σ可作为体系无序度的定量表征:纯系综完全有序, 既无序度为零;随机系统完全无序,故σ是个大数。其实, 在归一化限制下,ln(N)是σ的最大值。 在热力学中,熵是度量无序度的。熵(S)与σ的关系为, S=kσ,k为Boltzmann常数。 ? ? S=kσ可看作是量子统计力学中熵的定义。 注:关于算符函数矩阵的运算(借用对角化幺正变换) ? 若X为对角矩阵,X ij ? X ii ? ij ,则X函数的矩阵亦对角 F ( X ) ij ? F ( X ii ) ? ij ?1 X ? ? ?0 ? ? 例如: 若(X 例 0 ? ?; ?1? ? s in 1 s in X ? ? ? 0 ? ? ? s in 1 ? 0 ? ? ? ) ij ? (U X U ) ij ? X ij ? ij 1? ? ,U ? U 0? ? ,则 1 ?1 ? 2 ?1 ? F ( X ) ? U F ( X )U , F ( X ) ij ? F ( X ij ) ? ij 1 ? ?, X ?1? ?0 X ? ? ?1 ? 0 ?1 ? ? ?0 0 ? ? ?1? ? s in 1 s in X ? U ? ? 0 ? cos1 cos X ? U ? ? 0 ? ?U ? s in 1 ? ? ?U cos1 ? 0 ? ? 0 ? ? ? s in 1 ? cos1 ? ? ? 0 s in 1 ? ?; 0 ? ? ?; cos1 ? 0 e x p ( X ) = ... 十三、热平衡系综的密度矩阵 ? ? ? ? 对具有确定[H]的系综,热平衡时σ取极大:δσ=0. 因?ρ/ ? t=0, ρ与H可同时对角化,可用H的本征态为基. 热平衡时粒子的平均内能(确定):[H]=Tr(ρH)=U 由约束条件 用Lagranger乘子法可得 ? ? 其解为 利用归一化条件有 对应于能量本征态Ek的几率分布(与经典能量分布相似) 上述体系对应于统计力学的正则系统,体系能量确定 若除去内能一定的限制,则得(对任意k):ρkk=1/N 即为完全随机的系综,对应β -0 (T?∞)的正则系综分布 ? ? ? ? 十四、配分函数 ? ρkk的分母为 是统计力学中的配分函数,可写为 ? ρ在能量本征态基中可写为 N ? 据此可得体系的所有性质, ? A ? ? N tr ? e ??H A? ? ? k N k A k e ? ? Ek Z ? e ? ? Ek ? 对A=H,有 ? U ? k N k Eke e ? ? Ek ? ? ? ? Ek ? ?? ( ln Z ) ? ? 与统计力学的对应知β =1/kT. 十五、应用举例:均匀磁场中的电子系综 ? ? ?e ? 0 ? ? ? ? /2 0 e Z ? ? /2 ? ? ? , Z=e ? ? ? /2 ?e ? ? /2 [S x ] ? [S y ] ? 0, [S z ] ? ? ? 2 ta n h ( ? ? 2 ) Brillouin磁化率公式: ? ? e m cB [S z ] ? ?e 2 m cB ta n h ( ? ? 2 ) ? 负温度(如晶格排列磁矩体系): ? ? 1 kT ? 1 ?S k ?E ? ? ln ? ( E ) ?E , ? (E ) : E处 状 态 数 ? (温度序列:0+,正温,正无穷,负无穷,负温,0-) 作业 3.9、3.10、3.11 ?

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