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  物理学中的群论主讲 三维转动群群论-三维转动群 4.1 拓扑群和李群 4.2 轴转动群SO(2) 4.3 三维转动群SO(3) 4.4 二维特殊幺正群SU(2) 第四章 三维转动群 三维转动群及其表示 群论-三维转动群-拓扑群和李群 4.1 拓扑群和李群 ——连续群的基本概念 无限群分为分立无限群和连续无限群 有关有限群的理论对于分立无限群来说几乎全部成立 连续群的元素个数是不可数的 连续群G的元素由一组实参数a 确定——该组参数对标明群的所有元素是必需的而且足够的 其中至少有一个参数在某一区域上连续变化 连续群的定义该组参数中连续参数的个数l 称为连续群的维数 在具体的群中,参数的取法可能不唯一 返回 群论-三维转动群-拓扑群和李群 封闭律:显然 单位元:T(1,0) 逆元素:T -1 结合律:易证返回 例:定义线性变换T(a, ——x为实数轴上的点而两个变换的乘积为: ——先做后一个变换,再做前一个变换所有这样的线性变换{T(a, b)}构成一个连续群 b)}构成一个二维连续群群论-三维转动群-拓扑群和李群 拓扑群:群元的乘法法则和取逆法则对于群的所有元素都连 续的群,称为拓扑群 返回 由于群元素的连续性质,需要在群中引入拓扑 简单地说,拓扑是一个集合以及它的子集族 拓扑学研究的是某个对象在连续变形下不变的性质 为简单起见,我们仅讨论其元素可与l 维实内积空间的某个子 b)}的参数空间为:去掉y轴的实平面乘法法则的连续性:对于任意x 的邻域取逆法则的连续性:对于任意元素x, 其邻域中的任何元素的逆均属于其逆x -1 的邻域 群论-三维转动群-拓扑群和李群 简单群和混合群 拓扑群G的任意两个元素x 在参数空间中如果能用一条或者多条道路连接(道路连通),则该群的参数空间是连通的, 该群称为连通群或简单群。 若群的参数空间形成不相连结的若干片,则该群称为混合群。 多重连通群 简单群根据其参数空间的拓扑,进一步分为单连通和多连通 的。若任意群元在参数空间中的连通道路恰有k条,并且它们 不能通过在参数空间内部的连续形变而重合,则称该群为k重 连通。k称为连通度。 返回 连通群:三维转动群SO(3) 混合群:三维实正交群O(3) 四连通双连通 单连通 群论-三维转动群-拓扑群和李群 ),i=1,2,…l返回 若拓扑群的参数空间是紧致空间,即闭而有界的空间,则该群称为紧致群。 李群由于李群的组合函数是解析的,微积分的整套工具都可以用来 研究李群,这使得李群成为研究最成功最深入的无限群 若以上组合函数均为解析函数,则该群称为李群。 群论-三维转动群-拓扑群和李群 群的诸多概念(子群、同态、表示、特征标……)同样是李 群的基本概念 返回 无穷小元素决定了李群的局域性质 无穷小元素与任意元素相乘得到该元素邻近的一个元素 把无穷多个无穷小元素相继作用到该群元上,可以得到从该 群元出发的一条连续曲线 李群中单位元的参数可以选择为零 单位元邻域中的元素,其参数是无穷小量,称为无穷小元素 李群表示的每一个矩阵元和特征标在参数空间中(测度不为 零的区域内)都是群参数的单值连续函数 简单李群中单位元与任意群元都是连通的,则通过无穷小元 素的连续相乘可以从单位元得到任意群元 无穷小元素与极限过程或微分运算有关,不一定是参数很小 T(1,0)群论-三维转动群-拓扑群和李群 对于紧致连续群的连续表示(连续群可以有不连续的表示,比 如O(3)群与{1,-1}同态),有以下基本结论: 任一连续表示都有等价的幺正表示; 任一幺正表示都是完全可约的; 不可约表示都是有限维的。 返回 对于混合李群,在每一片参数区中都需要先确定一个特定元素, 然后通过无穷小元素相乘可得到该参数区中的任意元素 混合李群的性质完全由简单李群(不变子群)和每一连续片中 一个代表元素的性质确定。 故重点只需研究简单李群的性质 混合李群中,参数空间包含单位元的那个连续片的对应元素的 集合构成该混合李群的不变子群(它是一个简单李群),其他 元素片对应元素的集合构成该不变子群的陪集 群论-三维转动群-拓扑群和李群 设李群G的单位元为e )——参数均取为0其邻域的元素x(0,…ε 只需定义在单位元附近,它们决定了李群的全部性质 ——称为李群的生成元 引入虚数i 的原因:使得I 是什么?群论-三维转动群-拓扑群和李群 为了得到群元x(0,…a ,N是一个大整数,使得ε 返回对于简单李群,任意群元可以由生成元相继运用乘法得到 把上述结果推广到群的一般元素有 形式上有: lim(1 让N趋向无穷并利用代数恒等式于是有 群论-三维转动群-轴转动群SO(2) 4.2 轴转动群SO(2) ——最简单的连续群 SO(2)群是绕固定轴的转动形成的集合。该集合元素只用一 个参数标记,可以选定区间[0, 上取值的转动角ϕ,而转动记为T(ϕ)。乘法规则: SO(2)群的初始定义若选择整个实数轴为参数,则每个群元对应无穷多参数, 对应无穷多个区间:[0, 单位元为T(0),逆元T(ϕ)-1 T(2π-ϕ)。该群为单参数、连续、连通、阿贝尔、紧致李群 此时群是无穷多重连通的,有无穷多条道路连接任意两个元 素,这些道路不能经由变形互相转换 圈不一样返回 群论-三维转动群-轴转动群SO(2) 平面内的笛卡尔坐标系(x,y)在SO(2)群的旋转下的变换, 可以生成群的一个表示: cossin sin cos SO(2)群的表示每一个固定的m对应一个不可约表示 所以它的不可约表示为: T(ϕ)=exp(imϕ) 满足该群乘法的数值(11矩阵)应为: T(ϕ)=exp(cϕ), c为复数。因为T(2π) 轴转动群是阿贝尔群,其所有不可约表示都是一维的,也就是说它的表示矩阵本身就是其特征标 返回 群论-三维转动群-轴转动群SO(2) 若选择整个实数轴为参数空间,此时该群为无穷多重连通。此时该群有多值表示: T(ϕ)=exp(imϕ/k), k为任意整数,称为SO(2)群的k值表示 lim[exp 固定m,复数集{T(ϕ)=exp(imϕ), 2π]}与SO(2)同构SO(2)是单参数李群,它只有一个生成元。生成元的具体形式 依赖于SO(2)群的具体形式。不同的SO(2)都是同构的 SO(2)群的生成元一般而言,k重连通的李群G会有单值、双值、…,k值表示。 对于物理上真实的系统,一般只有单值表示和双值表示 它对应的生成元为: 返回 群论-三维转动群-轴转动群SO(2) cossin sin cos cossin limsin cos 与泡利矩阵相差一个负号生成元为: 所以这个群的一般群元可以写为: 返回 群论-三维转动群-轴转动群SO(2) 一半径为a的圆,x为沿圆周的长度,f(x)为定义在圆周上的函数。T(ϕ)为绕通过圆心与圆平面垂直的轴转动ϕ角的变换,必赢电竞赔率 apia 它实际上是标量函数的变换算符它正比于量子力学中的动量算符p 。故此时SO(2)的一般群元可表示为: exp(-iϕap 即生成元为因此 返回 群论-三维转动群-轴转动群SO(2) T(ϕ)是一个作用在函数f(x,y)上的转动变换,函数f(x, 为垂直于xy平面的角动量分量算符 ysinϕ,-xsinϕ ycosϕ)——{T(ϕ)}构成SO(2)群 ——平面上的标量函数的变换算符 返回 群论-三维转动群-三维转动群SO(3) 4.3 三维转动群SO(3) 量子力学中应用最广泛的对称群 球对称是物理学中最常见的对称性,即SO(3)对称性 中心力场问题总是最基本的研究课题,也相对容易解决 很多真实物理系统都具有近似的球对称性 三维转动群SO(3)由三维实空间中的所有转动构成 SO(3)是三维实正交群O(3) (又称为转动反演群)的子群 SO(3)群的元素O(3)群是不连通的连续紧致李群,其参数空间分为两片:其 中一片对应SO(3)群,由真转动构成,另一片对应非真转动 (转动反演) SO(3)群有三个参量,是一个双联通的连续群 返回 群论-三维转动群-三维转动群SO(3) SO(3)群的参数有多种选择 常用的是在笛卡尔坐标系中用R(n, 表示一般群元先通过一个转动使得n与z 轴重合; 然后绕z 轴转动角; 最后把z 轴通过转动回到原n位置 ——结果为绕n轴转动角 )的操作可以通过三个连续的转动实现: 轴的转动为S-1 -1而转动S可以通过两个相继的转动操作实现: cos sin sinsin cos 返回群论-三维转动群-三维转动群SO(3) 故可以求出转动元素R(n, 为参数的矩阵形式,对应生成元也能够求出 不过形式极为复杂 ——牵涉到求逆矩阵,没有简单的解析形式 因此n 1,2,3,后面求R(n, φ)对应的变换算符时要用 1112 13 2122 23 3132 33 S矩阵将(0,0,1)(z轴)变换到与(n )(n轴)的方向重合,因而有 与操作R(n,)相应的标量函数变换算符为P(n, ——它具有微分算符形式由关系式R(n, -1,相应地有P(n, -1返回 群论-三维转动群-三维转动群SO(3) 因为 返回群论-三维转动群-三维转动群SO(3) 所以有: limexp 类似有:返回 群论-三维转动群-三维转动群SO(3) 为基实际上可以构成一个线性空间L李代数的一个矩阵表示,就能生成李群的一个表示 与李群的所有生成元对易的算子称为Casimir算子,用其本征 值可以标志李群的不可约表示 其中的系数称为该李群的结构常数 可以标记SO(3)群的不可约表示 返回 群论-三维转动群-三维转动群SO(3) SO(3)中具有相同转角的元素形成共轭类 SO(3)群具有无穷多个共轭类,因而具有无穷多个不可约表示 寻找适当的基函数——从而得到转动群的不可约表示 SO(3)群的表示对于确定的l,它具有2l 1重简并球谐函数是量子力学中角动量平方算符L 球谐函数正是这样的基函数:返回 群论-三维转动群-三维转动群SO(3) 因为每个基函数在旋转下变成所有2l+1个基函数的线性组合, 所以这个表示空间没有不变子空间——不可约表示 ,而与转动R(n,)对应的函数变换算符为 的本征函数——可以写为2l 1个简并本征函数的线个球谐函数张成了SO(3)算符群的表示空间——它们构成了表示空间的基矢组 这样得到的都是奇数维的表示,且表示矩阵求起来比较麻烦 返回 群论-三维转动群-三维转动群SO(3) imim 最为方便由于 φ)代表n轴,是n轴的方向角)对于SO(3)群,特征标是转角的函数 只要找出一个类中一个特殊元素的表示矩阵,就可以求出该类 的特征标 计算这些不可约表示的特征标返回 群论-三维转动群-三维转动群SO(3) 故得到表示矩阵D 的形式为因此,在第l个表示中,转角为α的类的特征标χ 返回群论-三维转动群-三维转动群SO(3) 如右图: Oxyz(蓝色)固定——全局坐标系 OXYZ (红色)可转动——局部坐标系 来标记。此时z轴不动(z’= ):直观,物理意义明确欧拉角α, γ表示:计算更为方便,表达式简便——R(α, 最后在黑色轴坐标系中绕z‘’轴转动γ角,至图中红线所标示 的坐标系OXYZ z‘’表示,此时y‘轴不变 返回 群论-三维转动群-三维转动群SO(3) 这样用欧拉角表示的任意转动可表示为: 最后我们可以得到:做类似处理,可得 它是先把y‘ 转到y,再绕y转动β角,最后把y转回y’,总效果相当 转动β角这种绕可转动坐标系的转动可以转化为 对固定坐标轴的转动来表示: 利用共轭元的概念容易证明R(α, 表示为绕固定轴的转动的联合作用,因为: 返回 群论-三维转动群-三维转动群SO(3) 因此可得R(α, γ)的矩阵形式用欧拉角表示的转动R(α, γ),与用绕轴转动一个角度表示的转动R(n, )之间可以互相转换: 欧拉角表示的转动应用非常广泛,在量子力学中经常用到 cossin sincos sin sincos sincos coscos cos sinsin sincos cossin 的关系为返回 群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) 若二维矩阵u为幺正矩阵,即 则称u为二维幺模幺正矩阵所有这样的矩阵构成二维特殊幺正群,记为SU(2) 其中a,必赢电竞赔率b为复数,各由两个实参量确定,它们满足 aa 1——故SU(2)的每个群元由三个独立参量确定4.4 二维特殊幺正群SU(2) SU(2)是SO(3)群的覆盖群 二维幺模幺正矩阵的一般形式为由所有二维幺正矩阵构成的群称为二维幺正群,记为U(2),其 元素满足det U(n)群和SU(n)群的生成元所有n阶幺正矩阵构成U(n)群 所有行列式为1的n阶幺正矩阵构成特殊幺正群SU(n) 返回 群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) 而所有n阶厄密矩阵构成一个n 维的实矢量空间任何厄密矩阵都可以表示为n 个生成元:对于幺正矩阵u,总可以通过厄密矩阵h 表示为u ih的形式 SU(n)群的元素还需满足行列式为1的条件,故SU(n)群是连续、 连通的n -1个参数的紧致李群一个酉矩阵有n 返回群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) 所有迹为零的厄密矩阵构成一个(n -1)维的实矢量空间对于SU(n)群,其元素的行列式为1,由det exp(ia)可知, 与幺模幺正矩阵对应的厄密矩阵的迹为零 由于厄密矩阵的对角元为实数(厄密矩阵总是可以对角化 的),故得到行列式: det a为厄密矩阵h的迹,是实数,故幺正矩阵的行列式的模为1因此任意n )都可以构成U(n)群的生成元 这个空间的任意(n -1)个线迹厄密矩阵都可以构成SU(n)群的生成元 故一般可以先确定SU(n)的(n -1)个生成元;再加一个单位元就可以构成U(n)群的n 返回群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) )为生成元,其中E为二阶单位矩阵 对于SU(2)群,通常选取三个泡利矩阵为生成元: SU(2)与SO(3)的同态SU(2)和SO(3)的每个群元都由三个独立参量确定,两者实际上 构成同态关系——我们会发现SU(2)与SO(3)是2:1的同态 泡利矩阵是线性无关的零迹厄密矩阵,任意一个二维的零迹厄密矩阵h都可以表示成三个泡利矩阵的线性组合,组合系数为 实数,即: 返回 群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) 由此可见,任意一个2维零迹厄密矩阵h 都对应三维实空间R 并且有det 形式上可写为矢量的点乘:用任意元素 SU(2),对零迹厄密矩阵h作相似 变换,可以定义与u对应的R 的性质:群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) abaa bb 是一个真转动:由于相似变换不改变行列式,即,det(u(rσ)u -1 det(rσ)于是有 一个实正交变换而实正交变换的行列式只能是+1或者-1 返回 群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) 是一个线)群的任意元素u对应于真转动R 为恒等变换,其行列式值为+1 由于R 连续依赖于参数a和b,当a,b连续变化时,detR 不可能从+1突然跳到-1,因此对于所有参量a, b,detR 的映射是一个同态:这个映射保持群的乘法规则不变 uuuu uu uuuu 这个映射还是一个满映射——任意一个转动都可以找到SU(2)群的元素与之对应 返回 群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) 将任意转动表示为R(α, γ),寻找与之对应的幺模幺正矩阵首先,确定由欧拉角(α,0,0),(0,β,0),(0,0,γ) 表示的转动所对应 abaa bb cossin sincos sincos sin sincos sin 返回可以得到:u(α, 也就是说,在映射中,参数(a,b)对应的与(α, γ)的关系为可见任一个转动R(α, γ)都有一个SU(2)矩阵与之对应故SU(2)群到SO(3)群的映射为同态满映射: ——SU(2) ~SO(3) 群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) cossin sincos SU(2)与SO(3)是2:1的同态通过R b的依赖关系可以找到与SO(3)群单位元对应的幺模酉矩阵u,即SU(2) 到SO(3)的同态核 反解出参参数a,b为: 故同态核由以下两个元素构成实际上,R(α, γ)——它们对应的SU(2)群元不同群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) 都有两个SU(2)群元u和-u与之对应 返回 SU(2)群是矩阵群,它本身就是自己的一个2维忠实表示 所以,为了求得SU(2)群的其他表示,我们可以选取x 单项式作为SU(2)群表示的基函数,例如:3维表示基函数:x ——这些齐次单项式在SU(2)的作用下仍旧是齐次单项式的组合群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) SU(2)的不可约表示所以 基函数为了找到其他的表示,必须找到合适的基函数 考虑基函数为x 在SU(2)的群元作用下的变换式是线性齐次的返回 基函数的一般形式为x 为了使所求表示具有幺正性,将上述基函数增加一个因子,即对于n次齐次函数,j=n/2 (n为奇数时j取半整数) 相应地m有n+1(或2j+1)个取值:m j-1,…,-j+1, ——对应一个n+1维表示的基函数为了物理上应用的方便,可以将齐次单项式的幂指数改写为: n=2j, a=j-m ——基函数的一般形式写为:x j-m以2j+1个2j 次齐次函数为基构成的线)群元素的 作用下具有不变性,而且是线性无关的 它们构成SU(2)群的表示空间 返回 表示矩阵元n维(即2j+1维)表示的矩阵D (u)由下式确定群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) r,对上式做整理可得所以可以得到SU(2)群第 个2j+1维表示的矩阵元为群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) 由于负整数的阶乘是无限的,上式求和中只须遍及所有分母为有限的那些r 值即可 返回 只对满足r j-m的r求和 例如有 (-u),称为偶表示;当j为半整数时候,D (-u),称为奇表示(第一列,m=-j) (最后一行,m=j) 群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) 容易验证:j=0对应的一维表示为恒等表示; j=1/2对应的二维表示的矩阵为(即其自身) 返回j=1的三维表示的矩阵为: 群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) abaa bb j-1,…,-j+1, 为基得到的表示是SU(2)群的全部不等价不可约幺正表示,j 是任意的不小 于0的整数和半整数 保持向量内积不变——故为幺正表示 返回 (u)是不可约表示群论-三维转动群-二维特殊幺正群SU(2) (u)也是对易的设矩阵Y与全体D

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